3.9 TRANSFORMADA DE INTEGRALES (TEOREMA)

Definición 1.1 (Transformada integral)   La transformada integral  respecto el núcleo  en el intervalo  de la función se define de la forma

Donde  es la variable transformada.

El operador de transformación  es lineal, así como el operación de transformación inversa  .

3.7 TRANSFORMADA DE FUNCIONES MULTIPLICADSA POR TN Y DIVIDIDAS ENTRE T.

3.10 Teorema de la convolución

En matemática, el teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral).

Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con . (notar que el asterisco denota convolución en este contexto, y no multiplicación; a veces es utilizado también el símbolo ). Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que y son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente.

Entonces

donde · indica producto punto. También puede afirmarse que:

Aplicando la transformada inversa de Fourier , podemos escribir:

3.9 Transformada de integrales (teorema)

La teoría de las transformadas integrales, en especial, de la transformada de Laplace y la de Fourier. La transformación de Laplace es de amplia aplicación en el campo de la electrónica y l teoría de circuitos. Por otra parte, la transformada de Fourier, es de amplia aplicación en el análisis de señales, así como en diferentes campos de la física (teoría de la difracción, mecánica cuántica, etc.). Las transformadas integrales se presentan en forma de apuntes esquemáticos y sin demostraciones.

Definición 1 (Transformada integral)   .1La transformada integral respecto el núcleo en el intervalo de la función se define de la forma

 

 

Donde es la variable transformada.El operador de transformación es lineal, así como el operación de transformación inversa .

3.8 Trasnformada de derivadas (teorema)

Sea a trozos y de orden exponencial, entonces la transformada de Laplace de existe un número para una función continua existe. Es decir, tal que existe.

Demostración 

 

teorema anterior enuncia una condición suficiente y no necesaria para la existencia de la transformada de Laplace, es decir, puede darse el caso de una función aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo. que no cumpla las hipótesis del teorema, pero aún así tenga transformada, como lo muestra el siguiente ejemplo.

 

 

3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn entre t

En este subtema y los siguientes se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tn, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integrodiferenciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función por tn. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que F ( s)  £ f (t ) existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

 

 

3.6 Propiedades de la transformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslación)

Propiedad de linealidad de que la transformada de una combinación lineal de  funciones es una combinación lineal de las transformadas. Para constantes.

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA LA TRASLACIÓN DE FUNCIONES EN EL EJE S

PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN.

Este primer teorema de traslación se conoce también con el nombre de primer teorema de desplazamiento Si se considera a s una variable real, entonces la gráfica de F (s – a) es la gráfica de F(s) desplazada en el eje s por la cantidad a .